Tìm các số tự nhiên a,b,c biết:
\(\frac{1}{a^2\left(a^2+b^2\right)}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{a^2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
các bạn giúp mk bài trên nha!!
Tìm các số tự nhiên a,b,c biết
\(\frac{1}{a^2.\left(a^2+b^2\right)}+\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}+\frac{1}{a^2+\left(a^2+b^2+c^2\right)}=1\)
Một bài rất easy để dùng sos đây ạ!
1/Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:\(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\ge3+\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
Để ý rằng theo Bunhiacopxki ta có: \(\left(1+1+1\right)\left(\frac{4a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{4b^2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{4c^2}{\left(c+a\right)^2}\right)\ge\left(\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\right)^2=VT^2\)
Suy ra \(\sqrt{\frac{12a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{12b^2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{12c^2}{\left(a+b\right)^2}}\ge\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\) (do các hai vế đều dương)
Như vậy chúng ta sẽ được một bài toán rộng hơn bài trên,nhưng chắc hẳn rằng khi làm xong bài trên các bạn có thể giải ngay bài này chỉ qua biến đổi bđt đơn giản như trên! :D
Bài toán 2: \(\sqrt{\frac{12a^2}{\left(b+c\right)^2}+\frac{12b^2}{\left(c+a\right)^2}+\frac{12c^2}{\left(a+b\right)^2}}\ge3+\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)
1. Tìm 2 số tự nhiên x, y sao cho \(\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\) là số nguyên tố.
2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh \(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Câu 2/
\(\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+bc}{a^2\left(b+c\right)}-\frac{1}{a}+\frac{b^2+ca}{b^2\left(c+a\right)}-\frac{1}{b}+\frac{c^2+ab}{c^2\left(a+b\right)}-\frac{1}{c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(b-a\right)\left(c-a\right)}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{\left(a-b\right)\left(c-b\right)}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{c^2\left(a+b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4-a^4b^2c^2-a^2b^4c^2-a^2b^2c^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\ge a^4b^2c^2+a^2b^4c^2+a^2b^2c^4\left(1\right)\)
Ma ta có: \(\hept{\begin{cases}a^4b^4+b^4c^4\ge2a^2b^4c^2\left(2\right)\\b^4c^4+c^4a^4\ge2a^2b^2c^4\left(3\right)\\c^4a^4+a^4b^4\ge2a^4b^2c^2\left(4\right)\end{cases}}\)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế rồi rút gọn cho 2 ta được điều phải chứng minh là đúng.
PS: Nếu nghĩ được cách khác đơn giản hơn sẽ chép lên cho b sau. Tạm cách này đã.
Thỏa theo nguyện vọng mình làm luôn câu 1 cho b luôn :)
Câu 1/
\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}\)
Điều kiện: \(y^2-xy+1\ne0\)
Với x, y cùng chẵn, lẻ và x lẻ y chẵn thì tử là số chẵn, mẫu là số lẻ nên A sẽ là số chẵn.
Với x chẵn y lẻ thì tử là số lẻ mẫu là số chẵn nên A không phải là số nguyên.
Từ đây ta có được nếu A là số nguyên tố thì A chỉ có thể là 2.
\(A=\frac{\left(x+1\right)\left(x-y\right)}{y^2-xy+1}=2\)
\(\Leftrightarrow2y^2-xy+y-x^2-x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(2y+x+1\right)=2\)
\(\Rightarrow\left(x-y,2y+x+1\right)=\left(1,2;2,1\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}}\)
Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).
Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).
Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).
Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).
b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).
1) Áp dụng bunhiacopxki ta được \(\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\left(2a^2+bc\right)^2}=2a^2+bc\), tương tự với các mẫu ta được vế trái \(\le\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ac}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\le1< =>\)\(1-\frac{bc}{2a^2+bc}+1-\frac{ac}{2b^2+ac}+1-\frac{ab}{2c^2+ab}\le2< =>\)
\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ac}{2b^2+ac}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)<=> \(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{a^2c^2}{2b^2ac+a^2c^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge1\) (1)
áp dụng (x2 +y2 +z2)(m2+n2+p2) \(\ge\left(xm+yn+zp\right)^2\)
(2a2bc +b2c2 + 2b2ac+a2c2 + 2c2ab+a2b2). VT\(\ge\left(bc+ca+ab\right)^2\) <=> (ab+bc+ca)2. VT \(\ge\left(ab+bc+ca\right)^2< =>VT\ge1\) ( vậy (1) đúng)
dấu '=' khi a=b=c
4b, \(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}=1-\frac{ab^2}{a^2+b^2}+1-\frac{bc^2}{b^2+c^2}+1-\frac{ca^2}{a^2+c^2}\)
\(\ge3-\frac{ab^2}{2ab}-\frac{bc^2}{2bc}-\frac{ca^2}{2ac}=3-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=\frac{3}{2}\)
4c,
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}=a+b+c-\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}+3--\frac{b^2}{b^2+1}-\frac{c^2}{c^2+1}-\frac{a^2}{a^2+1}\)\(\ge6-2\cdot\frac{\left(a+b+c\right)}{2}=3\)
các bạn giúp mình câu này nhánh nhá
Co a,b,c>0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}< =16\left(a+b+c\right)\). Tìm GTNN: P= \(\frac{1}{\left[a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right]^3}+\frac{1}{\left[b+c+\sqrt{2\left(a+b\right)}\right]^3}+\frac{1}{\left[a+c+\sqrt{2\left(b+c\right)}\right]^3}\)
Cho a, b, c là các số dương.
CMR:\(\frac{b^2}{a\left(a^2+b^2\right)}+\frac{c^2}{b\left(b^2+c^2\right)}+\frac{a^2}{c\left(c^2+a^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Tìm x với các số a,b,c là hằng số đôi một khác nhau:
\(\frac{\left(b-c\right)\left(1+a\right)^2}{x+a^2}+\frac{\left(c-a\right)\left(1+b\right)^2}{x+b^2}+\frac{\left(a-b\right)\left(1+c\right)^2}{x+c^2}\) =0
Nêu các cách chứng minh BĐT Nesbitt.
BĐT Nesbitt là một BĐT khá quen thuộc trong các bài toán BĐT,chúng ta hay tìm những lời giải cho BĐT này nhé!
Đề: Cho a,b,c>0.CMR \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Cách 1:
Thật vậy,ta có: \(VT=\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^2}{b\left(c+a\right)}+\frac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)
\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}.1=\frac{3}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
Cách 2:
Ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{c+a}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho biểu thức trong ngoặc ta có đpcm.
Mọi người hãy cùng tìm thêm các lời giải khác nhé!
ok , cảm ơn bạn !!!
Bài toán rất hay và bổ ích !!!
Đây nhé
Đặt b + c = x ; c + a = y ; a + b = z
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2c+b+a=2c+z\\y+z=2a+b+c=2a+x\\x+z=2b+a+c=2b+y\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y-z}{2}=c;\frac{y+z-x}{2}=a;\frac{x+z-y}{2}=b\)
Thay vào PT đã cho ở đề bài , ta có :
\(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-3\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)
( cái này cô - si cho x/y + /x ; x/z + z/x ; y/z + z/y)
e cũng có 1 vài cách chứng minh khá là cổ điển ạ !
Sử dụng BĐT AM-GM ta có :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=2.\frac{a}{2}=a\)
Bằng cách chứng minh tương tự :
\(\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\ge b;\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge c\)
Cộng theo vế các bđt cùng chiều ta được :
\(\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge a+b+c\)
\(< =>\frac{a^2}{b+c}+\frac{a}{2}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{b}{2}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{c}{2}\ge a+b+c\)
\(< =>\frac{a^2}{b+c}+a+\frac{b^2}{a+c}+b+\frac{c^2}{a+b}+c\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(< =>\frac{a\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+b+c\right)}{a+c}+\frac{c\left(a+b+c\right)}{b+a}\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)
\(< =>\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)
Tìm a,b,c biết a,b,c là các số dương và \(\left(\frac{1}{a^2}+1\right)\left(\frac{1}{b^2}+2\right)\left(\frac{1}{c^2}+8\right)=\frac{32}{abc}\)
(d) qua A(5; 6) : y = mx - 5m + 6 (1)
(C) : (x - 1)² + (y - 2)² = 1 (2)
Thay y từ (1) vào (2) ta có phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C)
(x - 1)² + (mx - 5m + 4)² = 1
Khai triển ra pt bậc 2 : (m² + 1)x² - 2(5m² - 4m + 1)x + 25m² - 40m + 17 = 0 (*)
Để (d) tiếp xúc (C) thì (*) phải có nghiệm kép
∆' = (5m² - 4m + 1)² - (m² + 1)(25m² - 40m + 17) = - 4(3m² - 8m + 4) = 4(m - 2)(2 - 3m) = 0 => m = 3/2; m = 2
KL : Có 2 đường thẳng cần tìm
(d1) : y = (3/2)(x - 1)
(d2) : y = 2x - 4
∆ ∠ ∡ √ ∛ ∜ x² ⁻¹ ∫ π × ∵ ∴ | | , ⊥,∈∝ ≤ ≥− ± , ÷ ° ≠ → ∞, ≡ , ≅ , ∑,∪,¼ , ½ , ¾ , ≈ , [-b ± √(b² - 4ac) ] / 2a Σ Φ Ω α β γ δ ε η θ λ μ π ρ σ τ φ ω ё й½ ⅓ ⅔ ¼ ⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ ⁿ ₁ ₂ ₃₄₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ∊ ∧ ∏ ∑ ∠ ,∫ ∫ ψ ω Π∮ ∯ ∰ ∇ ∂ • ⇒ ♠ ★
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{1}{a^2}+1\ge2\sqrt{\frac{1}{a^2}\cdot1}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b^2}+2\ge2\sqrt{\frac{1}{b^2}\cdot2}=\frac{2\sqrt{2}}{b}\)
\(\frac{1}{c^2}+8\ge2\sqrt{\frac{1}{c^2}\cdot8}=\frac{2\sqrt{8}}{c}\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\frac{2}{a}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{b}\cdot\frac{2\sqrt{8}}{c}=\frac{32}{abc}=VP\)
Khi \(a=1;b=\frac{1}{\sqrt{2}};c=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)